Calcul infinitésimal Exemples

$12 - \frac{192}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 - \frac{192}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 192$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{192}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 192 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$0 - 192 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$0 - 192 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 192 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 1.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 192 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 192 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 1.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 192 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 1.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - 192 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 1.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - 192 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 1.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - 192 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.2.10

Multipliez $- 2$ par $- 192$ .

$0 + 384 x^{- 3}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 384 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $384$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{384}{x^{3}}$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{384}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{384}{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $384$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{384}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $384 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$384 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$384 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$384 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$384 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$384 (- 3 x^{- 4})$

Étape 2.4

Multipliez $- 3$ par $384$ .

$- 1152 x^{- 4}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1152 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 1152$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 1152}{x^{4}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{1152}{x^{4}}$