Calcul infinitésimal Exemples

$15 x \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$15 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$15 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Étape 1.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$15 (x \cos (x) + \sin (x))$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 15 x \cos (x) + 15 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x \cos (x) + 15 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$15 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Étape 2.2.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 15 \cos (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 (x (- \sin (x))) + 15 \cos (x) + 15 \cos (x)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$- 15 (x (\sin (x))) + 15 \cos (x) + 15 \cos (x)$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $15 \cos (x)$ et $15 \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 15 x \sin (x) + 30 \cos (x)$