Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (3 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (3 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$- 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 9 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \cos (3 x) \cdot 1$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$f'' (x) = - 9 \cos (3 x)$