Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{8 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 - x^{2}}$ comme ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.8.3

Placez ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.10

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.23

Multipliez ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.24

Pour écrire ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26

Multipliez ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.27

Simplifiez ${(8 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - 2 x^{2} + 8$ et $g (x) = {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.4.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.4.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.4.6

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = - x^{2} + 8$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{{(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.10.3

Placez ${(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.15

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.16

Simplifiez les termes.

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Étape 2.16.1

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.16.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.16.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.16.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.17.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.17.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{- x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.20

Multipliez $- 2 x^{2} + 8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21

Simplifiez

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Étape 2.21.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.21.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.2

Multipliez $- 2 x^{2} + 8$ par $\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.21.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 8$ .

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Étape 2.21.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 8) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (4)) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2^{2}) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.3.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (2^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.4

Pour écrire $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.5

Associez $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x$ et $\frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.7

Réécrivez $\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.21.1.7.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x$ .

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Étape 2.21.1.7.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.7.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 (2 + x) (2 - x) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.7.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((2 + x) (2 - x))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.7.2

Associez les exposants.

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Étape 2.21.1.7.2.1

Multipliez ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.21.1.7.2.1.1

Déplacez ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.7.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.7.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.7.2.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 8) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.7.2.2

Simplifiez $- 2 {(- x^{2} + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 8) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.21.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 8 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 8 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.3

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.4

Développez $(2 + x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.21.1.8.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 (2 - x) + x (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.21.1.8.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.21.1.8.5.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.5.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.21.1.8.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.5.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.5.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.6

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 16 + 4)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.1.8.7

Additionnez $- 16$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.2

Associez des termes.

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Étape 2.21.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 8}$

Étape 2.21.2.2

Multipliez $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{- x^{2} + 8}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 8)}$

Étape 2.21.2.3

Multipliez ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 8$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.21.2.3.1

Multipliez ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 8$ .

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Étape 2.21.2.3.1.1

Élevez $- x^{2} + 8$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 8)}$

Étape 2.21.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.21.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.21.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.21.2.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$