Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \ln (3 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{1}{3 x}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.4.1

Associez $3$ et $\frac{x}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Étape 1.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x \ln (3 x) + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \ln (3 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (3 x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{1}{3 x}$ et $3$ .

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.10

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$2 (1 + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.12

Multipliez $\ln (3 x)$ par $1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + 1$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (3 x) + 1$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 \ln (3 x) + 1$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (3 x) + 3$