Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arcsin (6 x + 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (6 x + 1))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = 6 x + 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x + 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 + 0)$

Étape 3.2.6

Associez les fractions.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} \cdot 6$

Étape 3.2.6.2

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$ et $6$ .

$\frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$