Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin^{-1} (8 x^{3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{-1} (8 x^{3}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin^{-1} (x)$ et $g (x) = 8 x^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin^{-1} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(8 x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(8 (x^{3}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $8 (x^{3})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (8^{2} {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 3.2.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (64 {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 3.2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{3 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 3.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{6})}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 3.2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2.4

Associez $8$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} (3 x^{2})$

Étape 3.2.6

Associez les fractions.

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Étape 3.2.6.1

Associez $3$ et $\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} x^{2}$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{24}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} x^{2}$

Étape 3.2.6.3

Associez $\frac{24}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$