Calcul infinitésimal Exemples

$y = x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{5})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{5}] + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x (10 {(x^{2} + 1)}^{4} x) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \cdot 1$

Étape 3.9

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{5}$ par $1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{4}$ à partir de $x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

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Étape 3.10.1.1

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{4}$ à partir de $x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4})$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{5}$

Étape 3.10.1.2

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{4}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{5}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} + 1)$

Étape 3.10.1.3

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{4}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} + 1)$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10) + x^{2} + 1)$

Étape 3.10.2

Associez des termes.

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Étape 3.10.2.1

Déplacez $10$ à gauche de $x^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (10 \cdot x^{2} + x^{2} + 1)$

Étape 3.10.2.2

Additionnez $10 x^{2}$ et $x^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = {(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$