Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \sin (x) + \cos (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \sin (x) + \cos (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$x \cos (x) + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $x \cos (x)$ et $0$ .

$x \cos (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x \cos (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x)$