Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \sqrt{8 x - 5}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 x - 5}$ comme ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 8 x - 5$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x - 5$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x - 5$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(8 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(8 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.7.3

Placez ${(8 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - 5] + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.11

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.12

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.13.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.13.2

Associez $\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ et $8$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.13.3

Déplacez $8$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{8 \cdot x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.13.4

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{2}$ .

$\frac{2 (4 x^{2})}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x^{2})}{2 ({(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 x^{2})}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Étape 4.16

Déplacez $2$ à gauche de ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 4.17

Associez $\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} x$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 4.17.1

Déplacez ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.17.2

Pour écrire $2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18

Multipliez ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.18.1

Déplacez ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x ({(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{1}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19

Simplifiez $2 x {(8 x - 5)}^{1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x (8 x - 5)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20

Simplifiez

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Étape 4.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 2 x (8 x) + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.20.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 x \cdot x + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.20.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 x^{2} + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 x^{2} + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 x^{2} - 10 x}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$\frac{20 x^{2} - 10 x}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.3

Factorisez $10 x$ à partir de $20 x^{2} - 10 x$ .

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Étape 4.20.3.1

Factorisez $10 x$ à partir de $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x (2 x) - 10 x}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.3.2

Factorisez $10 x$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{10 x (2 x) + 10 x (- 1)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.3.3

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x (2 x) + 10 x (- 1)$ .

$\frac{10 x (2 x - 1)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{10 x (2 x - 1)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x (2 x - 1)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$