Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{5} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{5} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{4})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2.4

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2.5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.2.5.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{4} (4 x^{3})$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) x^{3}$

Étape 3.3.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{4}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 4}{4} x^{3}$

Étape 3.3.5

Associez $\frac{- 4}{4}$ et $x^{3}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 4 x^{3}}{4}$

Étape 3.3.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 3.3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{4 (- x^{3})}{4}$

Étape 3.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1)}$

Étape 3.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{4 (- x^{3})}{4 \cdot 1}$

Étape 3.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- x^{3}}{1}$

Étape 3.3.6.2.4

Divisez $- x^{3}$ par $1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - x^{3}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{4} - x^{3} + 5 x^{4} \ln (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x^{4} - x^{3} + 5 x^{4} \ln (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + 5 x^{4} \ln (x)$