Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{7} \cdot 5^{7 x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{7} \cdot 5^{7 x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = 5^{7 x}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [5^{7 x}] + 5^{7 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 5^{x}$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [7 x]) + 5^{7 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$x^{7} (5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [7 x]) + 5^{7 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$x^{7} (5^{7 x} \ln (5) \frac{d}{d x} [7 x]) + 5^{7 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{7} (5^{7 x} \ln (5) (7 \frac{d}{d x} [x])) + 5^{7 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{7} (5^{7 x} \ln (5) (7 \cdot 1)) + 5^{7 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$x^{7} (5^{7 x} \ln (5) \cdot 7) + 5^{7 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $7$ à gauche de $5^{7 x} \ln (5)$ .

$x^{7} (7 \cdot (5^{7 x} \ln (5))) + 5^{7 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$x^{7} (7 \cdot 5^{7 x} \ln (5)) + 5^{7 x} (7 x^{6})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 \cdot 5^{7 x} x^{7} \ln (5) + 7 \cdot 5^{7 x} x^{6}$

Étape 3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $7 \cdot 5^{7 x} x^{7} \ln (5) + 7 \cdot 5^{7 x} x^{6}$ .

$7 x^{7} \cdot 5^{7 x} \ln (5) + 7 x^{6} \cdot 5^{7 x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 7 x^{7} \cdot (5^{7 x} \ln (5)) + 7 x^{6} \cdot 5^{7 x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{7} \cdot (5^{7 x} \ln (5)) + 7 x^{6} \cdot 5^{7 x}$