Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \tan (x y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \tan (x y))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \tan (x y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$1 + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$1 + \sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$1 + \sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Étape 3.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) + 1$ .

$y' = x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) + 1$

Étape 5.2

Soustrayez $x y' \sec^{2} (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$y' - x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) + 1$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' - x y' \sec^{2} (x y)$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) + 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sec^{2} (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (x y)) = y \sec^{2} (x y) + 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (x y))$ .

$y' (1 - x \sec^{2} (x y)) = y \sec^{2} (x y) + 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - x \sec^{2} (x y)) = y \sec^{2} (x y) + 1$ par $1 - x \sec^{2} (x y)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - x \sec^{2} (x y)) = y \sec^{2} (x y) + 1$ par $1 - x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (x y))}{1 - x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{1 - x \sec^{2} (x y)} + \frac{1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x \sec^{2} (x y)$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (x y))}{1 - x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{1 - x \sec^{2} (x y)} + \frac{1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y \sec^{2} (x y)}{1 - x \sec^{2} (x y)} + \frac{1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y \sec^{2} (x y) + 1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sec^{2} (x y) + 1}{1 - x \sec^{2} (x y)}$