Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 0}^{5} 32 {(\frac{3}{4})}^{i}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{32 {(\frac{3}{4})}^{i + 1}}{32 {(\frac{3}{4})}^{i}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{32 {(\frac{3}{4})}^{i + 1}}{32 {(\frac{3}{4})}^{i}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{4})}^{i}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{3}{4})}^{i + 1}$ et ${(\frac{3}{4})}^{i}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{3}{4})}^{i}$ à partir de ${(\frac{3}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i} \frac{3}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{i}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i} \frac{3}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i} \frac{3}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$r = \frac{3}{4}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $0$ dans $32 {(\frac{3}{4})}^{i}$ .

$a = 32 {(\frac{3}{4})}^{0}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$a = 32 \frac{3^{0}}{4^{0}}$

Étape 3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 32 \frac{1}{4^{0}}$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 32 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = 32 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = 32 \cdot 1$

Étape 3.2.5

Multipliez $32$ par $1$ .

$a = 32$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$32 \frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{6}}{1 - \frac{3}{4}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $4$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{6}}{1 - \frac{3}{4}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$32 (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{6}}{1 - \frac{3}{4}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$32 \frac{4 (1 - {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{3}{4})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{3}{4})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 3}{4})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 3}{4})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$32 \frac{4 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$32 \frac{4 + 4 (- \frac{3^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3^{6}}{4^{6}}$ dans le numérateur.

$32 \frac{4 + 4 \frac{- 3^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4^{6}$ .

$32 \frac{4 + 4 \frac{- 3^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$32 \frac{4 + 4 \frac{- 3^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$32 \frac{4 + \frac{- 3^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.4

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$32 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 729}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.5

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$32 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $729$ .

$32 \frac{4 + \frac{- 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$32 \frac{4 - \frac{729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.8

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1024}{1024}$ .

$32 \frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.9

Associez $4$ et $\frac{1024}{1024}$ .

$32 \frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$32 \frac{\frac{4 \cdot 1024 - 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.11.1

Multipliez $4$ par $1024$ .

$32 \frac{\frac{4096 - 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.4.11.2

Soustrayez $729$ de $4096$ .

$32 \frac{\frac{3367}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$32 \frac{\frac{3367}{1024}}{4 - 3}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$32 \frac{\frac{3367}{1024}}{1}$

Étape 5.6

Divisez $\frac{3367}{1024}$ par $1$ .

$32 (\frac{3367}{1024})$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $32$ à partir de $1024$ .

$32 \frac{3367}{32 (32)}$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun.

$32 \frac{3367}{32 \cdot 32}$

Étape 5.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3367}{32}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3367}{32}$

Forme décimale :

$105.21875$

Forme de nombre mixte :

$105 \frac{7}{32}$