Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{i}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ et ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ à partir de ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{- \frac{1}{2}}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $- \frac{1}{2}$ par $1$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Comme $| r | < 1$ , la série converge.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $i$ par $1$ dans ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Étape 4.2

Simplifiez

$a = - \frac{1}{2}$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{- \frac{1}{2}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Étape 6.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 6.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{3}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{3}$