Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{\infty} 5 \cdot {0.5}^{i - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{5 \cdot {0.5}^{i + 1 - 1}}{5 \cdot {0.5}^{i - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{5 \cdot {0.5}^{i + 1 - 1}}{5 \cdot {0.5}^{i - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{0.5}^{i + 1 - 1}}{{0.5}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${0.5}^{i + 1 - 1}$ et ${0.5}^{i - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${0.5}^{i - 1}$ à partir de ${0.5}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{0.5}^{i - 1} \cdot {0.5}^{i + 0 - (i - 1)}}{{0.5}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{0.5}^{i - 1} \cdot {0.5}^{i + 0 - (i - 1)}}{{0.5}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{0.5}^{i - 1} \cdot {0.5}^{i + 0 - (i - 1)}}{{0.5}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{0.5}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${0.5}^{i + 0 - (i - 1)}$ par $1$ .

$r = {0.5}^{i + 0 - (i - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $i$ et $0$ .

$r = {0.5}^{i - (i - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {0.5}^{i - i - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {0.5}^{i - i + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $i$ de $i$ .

$r = {0.5}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {0.5}^{1}$

Étape 2.2.7

Évaluez l’exposant.

$r = 0.5$

Étape 3

Comme $| r | < 1$ , la série converge.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $i$ par $1$ dans $5 \cdot {0.5}^{i - 1}$ .

$a = 5 \cdot {0.5}^{1 - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 5 \cdot {0.5}^{0}$

Étape 4.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 5 \cdot 1$

Étape 4.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$a = 5$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{5}{1 - 0.5}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Soustrayez $0.5$ de $1$ .

$\frac{5}{0.5}$

Étape 6.2

Divisez $5$ par $0.5$ .

$10$