Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} - 2 i$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{10} i^{3} - 2 i = \sum_{k = 1}^{10} i^{3} - 2 \sum_{k = 1}^{10} i$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{10} i^{3}$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $3$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Étape 2.3.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Étape 2.3.1.3

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $100$ par $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $12100$ par $4$ .

$3025$

Étape 3

Évaluez $2 \sum_{k = 1}^{10} i$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 110$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $110$ .

$- 110$

Étape 4

Additionnez les résultats des additions.

$3025 - 110$

Étape 5

Soustrayez $110$ de $3025$ .

$2915$