Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{9} {(- \frac{1}{4})}^{i}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ et ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ à partir de ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{- \frac{1}{4}}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $- \frac{1}{4}$ par $1$ .

$r = - \frac{1}{4}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{4})}^{1}$

Étape 3.2

Simplifiez

$a = - \frac{1}{4}$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - {(- \frac{1}{4})}^{9}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{4})}^{9})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{4^{9}})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{9}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{9}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{9}$ par $- 1$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.2.3

Additionnez $9$ et $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $10$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.4

Multipliez $\frac{1^{9}}{4^{9}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.6

Élevez $4$ à la puissance $9$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144}{262144} + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144 + 1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.1.9

Additionnez $262144$ et $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- - \frac{1}{4}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + 1 (\frac{1}{4})}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + \frac{1}{4}}$

Étape 5.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4 + 1}{4}}$

Étape 5.2.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{5}{4}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4} (\frac{262145}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $5$ à partir de $262145$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{5 (52429)}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4} (\frac{5 \cdot 52429}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{262144} \cdot 4)$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $4$ à partir de $262144$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 (65536)} \cdot 4)$

Étape 5.5.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 \cdot 65536} \cdot 4)$

Étape 5.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$

Étape 5.6

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$ .

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Étape 5.6.1

Multipliez $\frac{52429}{65536}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{52429}{65536 \cdot 4}$

Étape 5.6.2

Multipliez $65536$ par $4$ .

$- \frac{52429}{262144}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{52429}{262144}$

Forme décimale :

$- 0.20000076 \dots$