Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{7} {(- 3)}^{i}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{i + 1}}{{(- 3)}^{i}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à ${(- 3)}^{i + 1}$ et ${(- 3)}^{i}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez ${(- 3)}^{i}$ à partir de ${(- 3)}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{- 3}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$r = - 3$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans ${(- 3)}^{i}$ .

$a = {(- 3)}^{1}$

Étape 3.2

Évaluez l’exposant.

$a = - 3$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- 3 \frac{1 - {(- 3)}^{7}}{1 - - 3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $7$ .

$- 3 \frac{1 - - 2187}{1 - - 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2187$ .

$- 3 \frac{1 + 2187}{1 - - 3}$

Étape 5.1.3

Additionnez $1$ et $2187$ .

$- 3 \frac{2188}{1 - - 3}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 3 \frac{2188}{1 + 3}$

Étape 5.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 3 (\frac{2188}{4})$

Étape 5.3

Divisez $2188$ par $4$ .

$- 3 \cdot 547$

Étape 5.4

Multipliez $- 3$ par $547$ .

$- 1641$