Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(i - 3)}^{2}$ comme $(i - 3) (i - 3)$ .

$(i - 3) (i - 3)$

Étape 1.2

Développez $(i - 3) (i - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $i$ par $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $i$ .

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

Étape 1.3.2

Soustrayez $3 i$ de $- 3 i$ .

$i^{2} - 6 i + 9$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

Étape 2

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

Étape 3

Évaluez $\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ .

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Étape 3.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

Étape 3.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ .

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Étape 3.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.3.1.1

Additionnez $13$ et $1$ .

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Étape 3.2.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Multipliez $13$ par $14$ .

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $13$ .

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

Étape 3.2.3.1.3

Additionnez $26$ et $1$ .

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.2.1

Multipliez $182$ par $27$ .

$\frac{4914}{6}$

Étape 3.2.3.2.2

Divisez $4914$ par $6$ .

$819$

Étape 3.3

Évaluez $6 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

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Étape 3.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1.1

Additionnez $13$ et $1$ .

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $13$ par $14$ .

$- 6 (\frac{182}{2})$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 \cdot 182$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $- 3$ par $182$ .

$- 546$

Étape 3.4

Évaluez $\sum_{k = 1}^{13} 9$ .

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Étape 3.4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(9) (13)$

Étape 3.4.3

Multipliez $9$ par $13$ .

$117$

Étape 3.5

Additionnez les résultats des additions.

$819 - 546 + 117$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Soustrayez $546$ de $819$ .

$273 + 117$

Étape 3.6.2

Additionnez $273$ et $117$ .

$390$

Étape 4

Évaluez $\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ .

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Étape 4.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 4.2.3

Soustrayez $6$ de $1$ .

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 4.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 4.2.6

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$4 + 4 - 12 + 9$

Étape 4.2.7

Soustrayez $12$ de $4$ .

$4 - 8 + 9$

Étape 4.2.8

Additionnez $- 8$ et $9$ .

$4 + 1$

Étape 4.2.9

Additionnez $4$ et $1$ .

$5$

Étape 5

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$390 - 5$

Étape 6

Soustrayez $5$ de $390$ .

$385$