Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 2}^{7} i^{2} - 2 i$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 2}^{7} i^{2} - 2 i = \sum_{k = 1}^{7} i^{2} - 2 i - \sum_{k = 1}^{1} i^{2} - 2 i$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{7} i^{2} - 2 i$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{7} i^{2} - 2 i = \sum_{k = 1}^{7} i^{2} - 2 \sum_{k = 1}^{7} i$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{7} i^{2}$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.1.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$\frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$\frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{56 (14 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.3

Additionnez $14$ et $1$ .

$\frac{56 \cdot 15}{6}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $56$ par $15$ .

$\frac{840}{6}$

Étape 2.2.3.2.2

Divisez $840$ par $6$ .

$140$

Étape 2.3

Évaluez $2 \sum_{k = 1}^{7} i$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$- 2 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $7$ par $8$ .

$- 2 (\frac{56}{2})$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{56}{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{56}{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 56$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $56$ .

$- 56$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$140 - 56$

Étape 2.5

Soustrayez $56$ de $140$ .

$84$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{1} i^{2} - 2 i$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$1^{2} - 2 \cdot 1$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 2 \cdot 1$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$1 - 2$

Étape 3.2.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$84 + 1$

Étape 5

Additionnez $84$ et $1$ .

$85$