Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 0}^{3} {(- \frac{1}{2})}^{k}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

${(- \frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ par $1$ .

$\frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{1} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.6

Divisez $1$ par $1$ .

$1 + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.7

Simplifiez

$1 - \frac{1}{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.10

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.13

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.13.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 2.1.13.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Étape 2.1.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Étape 2.1.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2^{3}}$

Étape 2.1.16

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2.8

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2.9

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8}$

Étape 2.2.10

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 - 4 + 2 - 1}{8}$

Étape 2.4

Soustrayez $4$ de $8$ .

$\frac{4 + 2 - 1}{8}$

Étape 2.5

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{6 - 1}{8}$

Étape 2.6

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{5}{8}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{8}$

Forme décimale :

$0.625$