Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 0}^{2} 12 {(- \frac{1}{2})}^{k}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$12 {(- \frac{1}{2})}^{0} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$12 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ par $1$ .

$12 \frac{1^{0}}{2^{0}} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$12 \frac{1}{2^{0}} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$12 (\frac{1}{1}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.6

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$12 (\frac{1}{1}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$12 \cdot 1 + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.7

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.8

Simplifiez

$12 + 12 (- \frac{1}{2}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$12 + 12 (\frac{- 1}{2}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$12 + 2 (6) \frac{- 1}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$12 + 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$12 + 6 \cdot - 1 + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.10

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$12 - 6 + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$12 - 6 + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Étape 2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$12 - 6 + 12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}})$

Étape 2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$12 - 6 + 12 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}})$

Étape 2.1.13

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$12 - 6 + 12 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 - 6 + 12 \frac{1}{2^{2}}$

Étape 2.1.15

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 - 6 + 12 (\frac{1}{4})$

Étape 2.1.16

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.16.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$12 - 6 + 4 (3) \frac{1}{4}$

Étape 2.1.16.2

Annulez le facteur commun.

$12 - 6 + 4 \cdot 3 \frac{1}{4}$

Étape 2.1.16.3

Réécrivez l’expression.

$12 - 6 + 3$

Étape 2.2

Soustrayez $6$ de $12$ .

$6 + 3$

Étape 2.3

Additionnez $6$ et $3$ .

$9$