Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{j = 3}^{5} \frac{1}{j^{2} - 3}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $j$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{1}{3^{2} - 3}$ par $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} \cdot \frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{1}{3^{2} - 3}$ par $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{4^{2} - 3}$ par $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{1}{4^{2} - 3}$ par $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{1}{5^{2} - 3}$ par $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{1}{5^{2} - 3}$ par $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Étape 2.1.7

Réorganisez les facteurs de $(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Étape 2.1.8

Réorganisez les facteurs de $(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Étape 2.1.9

Réorganisez les facteurs de $(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{(16 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ de $16$ .

$\frac{13 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{13 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.4

Soustrayez $3$ de $25$ .

$\frac{13 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.5

Multipliez $13$ par $22$ .

$\frac{286 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{286 + (9 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.7

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{286 + 6 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.8

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{286 + 6 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.9

Soustrayez $3$ de $25$ .

$\frac{286 + 6 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.10

Multipliez $6$ par $22$ .

$\frac{286 + 132 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{286 + 132 + (9 - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.12

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.13

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (16 - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.14

Soustrayez $3$ de $16$ .

$\frac{286 + 132 + 6 \cdot 13}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.3.15

Multipliez $6$ par $13$ .

$\frac{286 + 132 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.4

Additionnez $286$ et $132$ .

$\frac{418 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.5

Additionnez $418$ et $78$ .

$\frac{496}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{496}{(9 - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{496}{6 (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.6.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{496}{6 (16 - 3) (5^{2} - 3)}$

Étape 2.6.4

Soustrayez $3$ de $16$ .

$\frac{496}{6 \cdot 13 (5^{2} - 3)}$

Étape 2.6.5

Multipliez $6$ par $13$ .

$\frac{496}{78 (5^{2} - 3)}$

Étape 2.6.6

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{496}{78 (25 - 3)}$

Étape 2.6.7

Soustrayez $3$ de $25$ .

$\frac{496}{78 \cdot 22}$

Étape 2.7

Multipliez $78$ par $22$ .

$\frac{496}{1716}$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun à $496$ et $1716$ .

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Étape 2.8.1

Factorisez $4$ à partir de $496$ .

$\frac{4 (124)}{1716}$

Étape 2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1716$ .

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Étape 2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Étape 2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{124}{429}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{124}{429}$

Forme décimale :

$0.\overline{289044}$