Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{4} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

${(\frac{1}{3})}^{1 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{0}}{3^{0}} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{3^{0}} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{1} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.5

Divisez $1$ par $1$ .

$1 + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + {(\frac{1}{3})}^{1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.7

Simplifiez

$1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.8

Soustrayez $1$ de $3$ .

$1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Étape 2.1.12

Soustrayez $1$ de $4$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{3}$

Étape 2.1.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Étape 2.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{3}}$

Étape 2.1.15

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2.7

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2.8

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2.9

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27 + 9 + 3 + 1}{27}$

Étape 2.4

Additionnez $27$ et $9$ .

$\frac{36 + 3 + 1}{27}$

Étape 2.5

Additionnez $36$ et $3$ .

$\frac{39 + 1}{27}$

Étape 2.6

Additionnez $39$ et $1$ .

$\frac{40}{27}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{40}{27}$

Forme décimale :

$1.\overline{481}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{13}{27}$