Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{\sin (x) + y}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sin (x) + y}$ comme ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \sin (x) + y$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x) + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x) + y$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.6.2

Associez les fractions.

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Étape 4.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.6.2.2

Placez ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Étape 4.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 4.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 4.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$

Étape 4.9

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$ .

$(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = (\cos (x) + y') (\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1

Simplifiez $(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \cos (x) \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.1.1.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.1.1.3

Associez $y'$ et $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Soustrayez $\frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ des deux côtés de l’équation.

$y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6.3.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 6.3.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 6.3.5

Le plus petit multiple commun de $1, 2, 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 6.3.6

Le facteur pour $\sin (x) + y$ est $\sin (x) + y$ lui-même.

$(\sin (x) + y) = \sin (x) + y$

$(\sin (x) + y)$ se produit $1$ fois.

Étape 6.3.7

Le plus petit multiple commun de ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.8

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4

Multiplier chaque terme dans $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ par $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.4.1

Multipliez chaque terme dans $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ par $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.4.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 6.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4.3.3

Annulez le facteur commun de ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \cos (x)$

Étape 6.5

Résolvez l’équation.

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Étape 6.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y'$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - y' = \cos (x)$

Étape 6.5.1.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = \cos (x)$

Étape 6.5.1.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ par $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ par $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$