Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{\frac{x}{x + 8}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{x}{x + 8}}$ comme ${(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \frac{x}{x + 8}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Étape 4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8

Différenciez.

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Étape 4.8.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8.2

Multipliez $x + 8$ par $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + 0)}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.8.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \cdot 1}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 8}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8.6.4

Additionnez $0$ et $8$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$

Étape 4.8.6.5

Multipliez $\frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(x + 8)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.8.6.6

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{8}{2 \cdot {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.8.6.7

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 4.8.6.7.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.8.6.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.6.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 ({(x + 8)}^{2})} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.8.6.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.8.6.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.9

Simplifiez

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Étape 4.9.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x + 8}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + 8}{x}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3

Associez des termes.

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Étape 4.9.3.1

Multipliez $\frac{4}{{(x + 8)}^{2}}$ par $\frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3.2

Placez ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3.3

Multipliez ${(x + 8)}^{2}$ par ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.3.3.1

Déplacez ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3.3.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3.3.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.3.3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3.3.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$