Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (3 x + 1) \cos (2 x + 4)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x + 1) \cos (2 x + 4))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (3 x + 1)$ et $g (x) = \cos (2 x + 4)$ .

$\ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 4)] + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x + 4$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x + 4$ .

$\ln (3 x + 1) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x + 4]) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x + 4]) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x + 4$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x + 4]) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} [4])) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (2 + 0)) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) \cdot 2) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x + 1$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x + 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \cos (2 x + 4) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \cos (2 x + 4) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x + 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \cos (2 x + 4) (\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Associez $\frac{1}{3 x + 1}$ et $\cos (2 x + 4)$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.5.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.5.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.5.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (3 + 0)$

Étape 3.5.7

Associez les fractions.

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Étape 3.5.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} \cdot 3$

Étape 3.5.7.2

Associez $\frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$ et $3$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4) \cdot 3}{3 x + 1}$

Étape 3.5.7.3

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (2 x + 4)$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{3 \cdot \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.6

Pour écrire $\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$\frac{\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) (3 x + 1)}{3 x + 1} + \frac{3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) (3 x + 1) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 \ln (3 x + 1) \sin (2 x + 4) (3 x + 1) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8.1.1.2

Simplifiez $- 2 \ln (3 x + 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{- \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) (3 x + 1) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) (3 x) - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) \cdot 1 + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8.1.1.4

Multipliez $- \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) (3 x)$ .

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Étape 3.8.1.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) \cdot 1 + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8.1.1.4.2

Simplifiez $- 3 \ln ({(3 x + 1)}^{2})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{- \ln ({({(3 x + 1)}^{2})}^{3}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) \cdot 1 + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- \ln ({({(3 x + 1)}^{2})}^{3}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8.1.1.6

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 1)}^{2})}^{3}$ .

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Étape 3.8.1.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \ln ({(3 x + 1)}^{2 \cdot 3}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8.1.1.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- \ln ({(3 x + 1)}^{6}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln ({(3 x + 1)}^{6}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)$ .

$\frac{- x \ln ({(3 x + 1)}^{6}) \sin (2 x + 4) - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 3.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{6}) - \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{2}) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{- x \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{6}) - \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{2}) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{6}) - \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{2}) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$