Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 \sin (x) \cos (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Étape 3.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 3.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 3.13.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$