Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} + 2 x y = x^{3} - x^{2} + 17$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2} + 2 x y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - x^{2} + 17)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 y y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y)$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' + 2 (x y') + 2 y$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 y y' + 2 x y' + 2 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{2} + 17$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [17]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [17]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [17]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [17]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [17]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $17$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x y' + 2 y = 3 x^{2} - 2 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' + 2 x y' = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$

Étape 5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' + 2 x y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' y + 2 x y' = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y'$ .

$2 y' y + 2 y' x = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y + 2 y' x$ .

$2 y' (y + x) = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (y + x) = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$ par $2 (y + x)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y + x) = 3 x^{2} - 2 x - 2 y$ par $2 (y + x)$ .

$\frac{2 y' (y + x)}{2 (y + x)} = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y + x)}{2 (y + x)} = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y + x)}{y + x} = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y + x)}{y + x} = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- 2 x}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{2 (- x)}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{2 (- x)}{2 (y + x)} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} + \frac{- x}{y + x} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} + \frac{- 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} + \frac{2 (- y)}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} + \frac{2 (- y)}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} + \frac{- y}{y + x}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} - \frac{y}{y + x}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{x}{y + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x}{y + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{y + x}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (y + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{x}{y + x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x \cdot 2}{(y + x) \cdot 2} - \frac{y}{y + x}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(y + x) \cdot 2$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 (y + x)} - \frac{x \cdot 2}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 x^{2} - x \cdot 2}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} - x \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (3 x) - x \cdot 2}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

Étape 5.3.3.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 2$ .

$y' = \frac{x (3 x) + x (- 1 \cdot 2)}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

Étape 5.3.3.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x (- 1 \cdot 2)$ .

$y' = \frac{x (3 x - 1 \cdot 2)}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

Étape 5.3.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x}$

Étape 5.3.3.6

Pour écrire $- \frac{y}{y + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{2 (y + x)} - \frac{y}{y + x} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.3.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (y + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $\frac{y}{y + x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{2 (y + x)} - \frac{y \cdot 2}{(y + x) \cdot 2}$

Étape 5.3.3.7.2

Réorganisez les facteurs de $(y + x) \cdot 2$ .

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{2 (y + x)} - \frac{y \cdot 2}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{x (3 x - 2) - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{x (3 x) + x \cdot - 2 - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{3 x \cdot x + x \cdot - 2 - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.9.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y' = \frac{3 x \cdot x - 2 \cdot x - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.9.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.9.4.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{3 (x \cdot x) - 2 \cdot x - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.9.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 \cdot x - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x - y \cdot 2}{2 (y + x)}$

Étape 5.3.3.9.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x - 2 y}{2 (y + x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - 2 x - 2 y}{2 (y + x)}$