Calcul infinitésimal Exemples

$y^{3} = e^{x} \ln (x^{2} - 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (e^{x} \ln (x^{2} - 1))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Associez $\frac{1}{x^{2} - 1}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.5

Associez les fractions.

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.5.2

Associez $2$ et $\frac{e^{x}}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1} x + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.5.3

Associez $\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1}$ et $x$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) e^{x}$

Étape 3.5

Pour écrire $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \frac{\ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 3.7.1.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) e^{x})}{x^{2} - 1}$

Étape 3.7.1.1.3

Réécrivez $- 1 (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ comme $- (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ .

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.7.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x^{2} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 3.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ par $3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ par $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Étape 5.3.3

Associez les fractions.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ par $\frac{1}{3 y^{2}}$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1) (3 y^{2})}$

Étape 5.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.3.3.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $(x + 1) (x - 1)$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 \cdot ((x + 1) (x - 1)) y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 (x + 1) (x - 1) y^{2}}$ .

$y' = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$