Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x + 2) x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (3 x + 2)]$

Étape 4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2} (3 x + 2)]$

Étape 4.3.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (3 x + 2)]$

Étape 4.3.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Étape 4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Étape 4.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (3 x + 2)]$

Étape 4.3.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} (3 x + 2)]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = 3 x + 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 2] + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.5

Différenciez.

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Étape 4.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.5.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + 0) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.5.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 \cdot x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 4.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 4.9.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.10

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11

Simplifiez

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Étape 4.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{\frac{3}{2}} + 3 x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2

Associez des termes.

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Étape 4.11.2.1

Associez $3$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{3 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2.3

Associez $x$ et $\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2.8

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2.9

Associez $2$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 4.11.2.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11.2.11

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 4.11.2.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.11.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Étape 4.11.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.11.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Étape 4.11.2.12.4

Divisez $3 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.11.2.13

Pour écrire $3 x^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.11.2.14

Associez $3 x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.11.2.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.11.2.16

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.11.2.17

Additionnez $6 x^{\frac{3}{2}}$ et $9 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$