Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2}{3} \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x)))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{(1 + 3 \cos^{2} (x)) \cdot 3} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Étape 3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Étape 3.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (0 + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$

Étape 3.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Étape 3.3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.7.1

Associez $3$ et $\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 3.3.7.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 3.3.7.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 3.3.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.7.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 3.3.7.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.5

Associez les fractions.

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Étape 3.5.1

Associez $2$ et $\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.5.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.5.4

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cdot \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (- \sin (x))$

Étape 3.7

Associez $\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$- \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$