Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x + 1}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + 1$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.9.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Étape 4.11

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Étape 4.12

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.14.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Étape 4.14.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Étape 4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Étape 4.16

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Étape 4.17

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18

Simplifiez

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Étape 4.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.18.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.18.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.18.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- (2 x)$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.2

Associez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.3

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.4

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.18.3.1.4.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.18.3.1.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.1.6

Réécrivez $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.3.2

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.18.4.1

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4.2

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.18.4.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.18.4.4.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{2}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4.4.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{1} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.4.4.3

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.18.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 4.18.6

Multipliez $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 4.18.6.1

Multipliez $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 4.18.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x - 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.18.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.6.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 4.18.6.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$