Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\cos (x)}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{x^{3}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 3.4.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (- \sin (x))$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.4.2.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 \cos (x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Étape 3.4.2.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Étape 3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (- \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- x \sin (x) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Étape 3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \sin (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Étape 3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \cos (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))}{x^{4}}$

Étape 3.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ .

$\frac{- (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Étape 3.6.5

Réécrivez $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ comme $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Étape 3.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$