Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2} = 10$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}) = \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \ln (y)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$2 x - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{y} y') + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{1}{y}$ et $y'$ .

$2 x - 3 \frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.5

Associez $- 3$ et $\frac{y'}{y}$ .

$2 x + \frac{- 3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y}$

Étape 3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 1, y, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ par $y$ .

$2 y y' y + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Déplacez $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Étape 5.2.2.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 y'}{y}$ dans le numérateur.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Étape 5.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Étape 5.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0 y$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $0$ par $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} y' - 3 y' = - 2 x y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y^{2} y' - 3 y'$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y^{2} y'$ .

$y' (2 y^{2}) - 3 y' = - 2 x y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y'$ .

$y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3 = - 2 x y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ par $2 y^{2} - 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ par $2 y^{2} - 3$ .

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y^{2} - 3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$