Calcul infinitésimal Exemples

$x \ln (y) + y \ln (x) = 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y \ln (x)) = \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \ln (y) + y \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{1}{y}$ et $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.2.6

Associez $x$ et $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.2.7

Multipliez $\ln (y)$ par $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) y'$

Étape 2.3.4

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} + \ln (x) y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x}$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multiplier chaque terme dans $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ par $y x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.1.1

Multipliez chaque terme dans $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ par $y x$ .

$\ln (x) y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.1.2.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) y' y x + x y' x + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (x) y' y x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.2.1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $y x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y \cdot y = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.8

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y^{1} = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1 + 1} = 0 (y x)$

Étape 5.1.2.1.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 (y x)$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $0 (y x)$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $0$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 x$

Étape 5.1.3.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (x) y' y x + \ln (y) y x = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x) y' y x + \ln (y) y x$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Étape 5.4

Additionnez $- y' x^{2} - y^{2}$ et $0$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2}$

Étape 5.5

Ajoutez $y' x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) + y' x^{2} = - y^{2}$

Étape 5.6

Soustrayez $y x \ln (y)$ des deux côtés de l’équation.

$y' y x \ln (x) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Étape 5.7

Factorisez $y' x$ à partir de $y' y x \ln (x) + y' x^{2}$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $y' x$ à partir de $y' y x \ln (x)$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Étape 5.7.2

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x^{2}$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x = - y^{2} - y x \ln (y)$

Étape 5.7.3

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x$ .

$y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$

Étape 5.8

Divisez chaque terme dans $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ par $x (y \ln (x) + x)$ et simplifiez.

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Étape 5.8.1

Divisez chaque terme dans $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ par $x (y \ln (x) + x)$ .

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.2.2

Annulez le facteur commun de $y \ln (x) + x$ .

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Étape 5.8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.8.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Étape 5.8.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Étape 5.8.3.2

Pour écrire $- \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.8.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (y \ln (x) + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.8.3.3.1

Multipliez $\frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(y \ln (x) + x) x}$

Étape 5.8.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(y \ln (x) + x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} - y \ln (y) x$ .

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Étape 5.8.3.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.5.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.5.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.5.2

Réécrivez $- 1 \ln (y)$ comme $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (- y - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.8.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (\ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - (\ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.8.3.6.4.1

Réécrivez $- (y + \ln (y) x)$ comme $- 1 (y + \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 5.8.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$