Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} (x - y) = y^{2} (x + y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (x - y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (x + y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) (2 x)$

Étape 2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x - y$ .

$x^{2} (1 - y') + 2 \cdot (x - y) x$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 (x - y) x$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + (2 x + 2 (- y)) x$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Étape 2.6.4

Associez des termes.

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Étape 2.6.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Étape 2.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x) + 2 (- y) x$

Étape 2.6.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- y) x$

Étape 2.6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{1 + 1} + 2 (- y) x$

Étape 2.6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} + 2 (- y) x$

Étape 2.6.4.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} - 2 y x$

Étape 2.6.4.7

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- y') - 2 y x$

Étape 2.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y^{2}$ et $g (x) = x + y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.5

Déplacez $2$ à gauche de $x + y$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 \cdot (x + y) y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 (x + y) y y'$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 (x + y) y y'$

Étape 3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x + 2 y) y y'$

Étape 3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x y + 2 y \cdot y) y'$

Étape 3.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Étape 3.7.5

Associez des termes.

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Étape 3.7.5.1

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Étape 3.7.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y) y'$

Étape 3.7.5.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Étape 3.7.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{1 + 1} y'$

Étape 3.7.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{2} y'$

Étape 3.7.5.6

Additionnez $y^{2} y'$ et $2 y^{2} y'$ .

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y = y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' = 3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Étape 5.2

Ajoutez $x^{2} y'$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y$

Étape 5.3

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2})$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ par $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ par $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{(2) x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.5.3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 5.5.3.3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3.1.2

Remettez dans l’ordre $- y^{2}$ et $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3.1.4

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$y' = \frac{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3.1.6

Multipliez $x y$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3.1.7

Déplacez les parenthèses.

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.5.3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y' = \frac{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y' = \frac{x (3 x + y) - y (3 x + y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 5.5.3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + y$ .

$y' = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$