Calcul infinitésimal Exemples

$y = (9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = 9 x^{2} - 18 x + 18$ et $g (y) = e^{x}$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) \frac{d}{d y} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{x} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} - 18 x + 18$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Étape 3.4.2

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $y$ est $9 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $9$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Étape 3.7

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Étape 3.8

Comme $- 18$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 18 x$ par rapport à $y$ est $- 18 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [18])$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + \frac{d}{d y} [18])$

Étape 3.10

Comme $18$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $18$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + 0)$

Étape 3.11

Additionnez $18 x x' - 18 x'$ et $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$(9 x^{2} e^{x} - 18 x e^{x} + 18 e^{x}) x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Étape 3.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Étape 3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x') + e^{x} (- 18 x')$

Étape 3.12.4

Associez des termes.

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Étape 3.12.4.1

Additionnez $- 18 x e^{x} x'$ et $e^{x} (18 x x')$ .

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Étape 3.12.4.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 x e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Étape 3.12.4.1.2

Additionnez $- 18 x e^{x} x'$ et $18 x e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + 0 + e^{x} (- 18 x')$

Étape 3.12.4.2

Additionnez $9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x'$ et $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Étape 3.12.4.3

Additionnez $18 e^{x} x'$ et $e^{x} (- 18 x')$ .

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Étape 3.12.4.3.1

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $- 18$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 \cdot e^{x} x'$

Étape 3.12.4.3.2

Soustrayez $18 \cdot e^{x} x'$ de $18 e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 0$

Étape 3.12.4.4

Additionnez $9 x^{2} e^{x} x'$ et $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

Étape 3.12.5

Réorganisez les facteurs de $9 x^{2} e^{x} x'$ .

$9 e^{x} x^{2} x'$

Étape 3.12.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $9 e^{x} x^{2} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 9 x^{2} e^{x} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ .

$9 x^{2} e^{x} x' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ par $9 x^{2} e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ par $9 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$