Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x + 2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x + 2})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = 1$ et $g (y) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $x + 2$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d y} [x + 2]$ de $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$- \frac{\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$- \frac{x' + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \frac{x' + 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $x'$ et $0$ .

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ .

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' = - {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.5

Simplifiez $- {(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$x' = - ((x + 2) (x + 2))$

Étape 5.5.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x' = - (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Étape 5.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Étape 5.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 5.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x' = - (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 5.5.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x' = - (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 5.5.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x' = - (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Étape 5.5.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$x' = - (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 5.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$x' = - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4$

Étape 5.5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4$

Étape 5.5.5.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 4$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - x^{2} - 4 x - 4$