Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x y) = 1 + \cos (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\sin (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \cos (y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sin (y)$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\cos (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\cos (x y) (x + y x')$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x y) x + \cos (x y) (y x')$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \cos (x y) + y \cos (x y) x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Étape 3.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $- \sin (y)$ .

$0 - \sin (y)$

Étape 3.3

Soustrayez $\sin (y)$ de $0$ .

$- \sin (y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x \cos (x y) + y \cos (x y) x' = - \sin (y)$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \cos (x y) + y \cos (x y) x'$ .

$x \cos (x y) + y x' \cos (x y) = - \sin (y)$

Étape 5.2

Soustrayez $x \cos (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$y x' \cos (x y) = - \sin (y) - x \cos (x y)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y x' \cos (x y) = - \sin (y) - x \cos (x y)$ par $y \cos (x y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y x' \cos (x y) = - \sin (y) - x \cos (x y)$ par $y \cos (x y)$ .

$\frac{y x' \cos (x y)}{y \cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x' \cos (x y)}{y \cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x y)$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- \sin (y)}{y \cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Séparez les fractions.

$x' = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (x y)} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x y)}$ comme un produit.

$x' = \frac{- 1}{y} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x y)}) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$x' = \frac{- 1}{y} (\frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x y)}) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.4

Simplifiez

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Étape 5.3.3.1.4.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$x' = \frac{- 1}{y} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x y)}) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x y)}$ à $\sec (x y)$ .

$x' = \frac{- 1}{y} (\sin (y) \sec (x y)) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{1}{y} (\sin (y) \sec (x y)) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.6

Multipliez $- \frac{1}{y} (\sin (y) \sec (x y))$ .

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Étape 5.3.3.1.6.1

Associez $\sin (y)$ et $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\sin (y)}{y} \sec (x y) + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.6.2

Associez $\sec (x y)$ et $\frac{\sin (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.7

Annulez le facteur commun de $\cos (x y)$ .

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Étape 5.3.3.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} + \frac{- x \cos (x y)}{y \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} + \frac{- x}{y}$

Étape 5.3.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} - \frac{x}{y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec (x y) \sin (y)}{y} - \frac{x}{y}$