Calcul infinitésimal Exemples

$z = \frac{A}{y^{9}} + B e^{y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d B} (z) = \frac{d}{d B} (\frac{A}{y^{9}} + B e^{y})$

Étape 2

Comme $z$ est constant par rapport à $B$ , la dérivée de $z$ par rapport à $B$ est $0$ .

$0$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{A}{y^{9}} + B e^{y}$ par rapport à $B$ est $\frac{d}{d B} [\frac{A}{y^{9}}] + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$ .

$\frac{d}{d B} [\frac{A}{y^{9}}] + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d B} [\frac{A}{y^{9}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $A$ est constant par rapport à $B$ , la dérivée de $\frac{A}{y^{9}}$ par rapport à $B$ est $A \frac{d}{d B} [\frac{1}{y^{9}}]$ .

$A \frac{d}{d B} [\frac{1}{y^{9}}] + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d B} [\frac{f (B)}{g (B)}]$ est $\frac{g (B) \frac{d}{d B} [f (B)] - f (B) \frac{d}{d B} [g (B)]}{{g (B)}^{2}}$ où $f (B) = 1$ et $g (B) = y^{9}$ .

$A \frac{y^{9} \frac{d}{d B} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d B} [y^{9}]}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $B$ , la dérivée de $1$ par rapport à $B$ est $0$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d B} [y^{9}]}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d B} [f (g (B))]$ est $f' (g (B)) g' (B)$ où $f (B) = B^{9}$ et $g (B) = y$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d B} [y])}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d B} [y])}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (9 y^{8} \frac{d}{d B} [y])}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.5

Réécrivez $\frac{d}{d B} [y]$ comme $y'$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (9 y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.6

Multipliez $y^{9}$ par $0$ .

$A \frac{0 - 1 \cdot 1 (9 y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A \frac{0 - (9 y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.8

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$A \frac{0 - 9 (y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.9

Soustrayez $9 y^{8} y'$ de $0$ .

$A \frac{- 9 y^{8} y'}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.10

Multipliez les exposants dans ${(y^{9})}^{2}$ .

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Étape 3.2.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A \frac{- 9 y^{8} y'}{y^{9 \cdot 2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.10.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$A \frac{- 9 y^{8} y'}{y^{18}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.11

Annulez le facteur commun à $y^{8}$ et $y^{18}$ .

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Étape 3.2.11.1

Factorisez $y^{8}$ à partir de $- 9 y^{8} y'$ .

$A \frac{y^{8} (- 9 y')}{y^{18}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.11.2.1

Factorisez $y^{8}$ à partir de $y^{18}$ .

$A \frac{y^{8} (- 9 y')}{y^{8} y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$A \frac{y^{8} (- 9 y')}{y^{8} y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$A \frac{- 9 y'}{y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (- \frac{9 y'}{y^{10}}) + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.13

Associez $A$ et $\frac{9 y'}{y^{10}}$ .

$- \frac{A (9 y')}{y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.2.14

Déplacez $9$ à gauche de $A$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d B} [B e^{y}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d B} [f (B) g (B)]$ est $f (B) \frac{d}{d B} [g (B)] + g (B) \frac{d}{d B} [f (B)]$ où $f (B) = B$ et $g (B) = e^{y}$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B \frac{d}{d B} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d B} [f (g (B))]$ est $f' (g (B)) g' (B)$ où $f (B) = e^{B}$ et $g (B) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d B} [y]) + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{u_{2}} \frac{d}{d B} [y]) + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{y} \frac{d}{d B} [y]) + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d B} [y]$ comme $y'$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d B} [B^{n}]$ est $n B^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1$

Étape 3.3.5

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B e^{y} y' + e^{y}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} B y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$

Étape 3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{y} B y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$ .

$B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$0 = B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$ .

$B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, y^{10}, 1, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{10}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$ par $y^{10}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$ par $y^{10}$ .

$B e^{y} y' y^{10} - \frac{9 A y'}{y^{10}} y^{10} + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{10}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9 A y'}{y^{10}}$ dans le numérateur.

$B e^{y} y' y^{10} + \frac{- 9 A y'}{y^{10}} y^{10} + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$B e^{y} y' y^{10} + \frac{- 9 A y'}{y^{10}} y^{10} + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Étape 5.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$B e^{y} y' y^{10} - 9 A y' + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Étape 5.3.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $B e^{y} y' y^{10} - 9 A y' + e^{y} y^{10}$ .

$B y' y^{10} e^{y} - 9 A y' + y^{10} e^{y} = 0 y^{10}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $y^{10}$ .

$B y' y^{10} e^{y} - 9 A y' + y^{10} e^{y} = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $y^{10} e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$B y' y^{10} e^{y} - 9 A y' = - y^{10} e^{y}$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $B y' y^{10} e^{y} - 9 A y'$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $B y' y^{10} e^{y}$ .

$y' (B y^{10} e^{y}) - 9 A y' = - y^{10} e^{y}$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 9 A y'$ .

$y' (B y^{10} e^{y}) + y' (- 9 A) = - y^{10} e^{y}$

Étape 5.4.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (B y^{10} e^{y}) + y' (- 9 A)$ .

$y' (B y^{10} e^{y} - 9 A) = - y^{10} e^{y}$

Étape 5.4.3

Divisez chaque terme dans $y' (B y^{10} e^{y} - 9 A) = - y^{10} e^{y}$ par $B y^{10} e^{y} - 9 A$ et simplifiez.

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Étape 5.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (B y^{10} e^{y} - 9 A) = - y^{10} e^{y}$ par $B y^{10} e^{y} - 9 A$ .

$\frac{y' (B y^{10} e^{y} - 9 A)}{B y^{10} e^{y} - 9 A} = \frac{- y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $B y^{10} e^{y} - 9 A$ .

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Étape 5.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (B y^{10} e^{y} - 9 A)}{B y^{10} e^{y} - 9 A} = \frac{- y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d B}$ .

$\frac{d y}{d B} = - \frac{y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$