Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{1}{k^{2} + 4}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$\frac{1}{1^{2} + 4} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{1}{1^{2} + 4}$ par $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{1}{1^{2} + 4} \cdot \frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{1}{1^{2} + 4}$ par $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2^{2} + 4}$ par $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{1}{2^{2} + 4}$ par $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{1}{3^{2} + 4}$ par $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{1}{3^{2} + 4}$ par $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Étape 2.1.7

Réorganisez les facteurs de $(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Étape 2.1.8

Réorganisez les facteurs de $(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Étape 2.1.9

Réorganisez les facteurs de $(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{(4 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{8 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{8 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$\frac{8 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.5

Multipliez $8$ par $13$ .

$\frac{104 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{104 + (1 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.7

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{104 + 5 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{104 + 5 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.9

Additionnez $9$ et $4$ .

$\frac{104 + 5 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.10

Multipliez $5$ par $13$ .

$\frac{104 + 65 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{104 + 65 + (1 + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.12

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{104 + 65 + 5 (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{104 + 65 + 5 (4 + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.14

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{104 + 65 + 5 \cdot 8}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.3.15

Multipliez $5$ par $8$ .

$\frac{104 + 65 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.4

Additionnez $104$ et $65$ .

$\frac{169 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.5

Additionnez $169$ et $40$ .

$\frac{209}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{209}{(1 + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.6.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{209}{5 (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.6.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{209}{5 (4 + 4) (3^{2} + 4)}$

Étape 2.6.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{209}{5 \cdot 8 (3^{2} + 4)}$

Étape 2.6.5

Multipliez $5$ par $8$ .

$\frac{209}{40 (3^{2} + 4)}$

Étape 2.6.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{209}{40 (9 + 4)}$

Étape 2.6.7

Additionnez $9$ et $4$ .

$\frac{209}{40 \cdot 13}$

Étape 2.7

Multipliez $40$ par $13$ .

$\frac{209}{520}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{209}{520}$

Forme décimale :

$0.40192307 \dots$