Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{7} 36 - 2^{k}$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{7} 36 - 2^{k} = \sum_{k = 1}^{7} 36 + \sum_{k = 1}^{7} - 2^{k}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{7} 36$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(36) (7)$

Étape 2.3

Multipliez $36$ par $7$ .

$252$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{7} - 2^{k}$ .

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Étape 3.1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 3.2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 3.2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{- 2^{k + 1}}{- 2^{k}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$r = \frac{2^{k + 1}}{2^{k}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun à $2^{k + 1}$ et $2^{k}$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $2^{k}$ à partir de $2^{k + 1}$ .

$r = \frac{2^{k} \cdot 2}{2^{k}}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{2^{k} \cdot 2}{2^{k} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2^{k} \cdot 2}{2^{k} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{2}{1}$

Étape 3.2.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$r = 2$

Étape 3.3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.3.1

Remplacez $k$ par $1$ dans $- 2^{k}$ .

$a = - 2^{1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Évaluez l’exposant.

$a = - 1 \cdot 2$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a = - 2$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- 2 \frac{1 - 2^{7}}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$- 2 \frac{1 - 1 \cdot 128}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$- 2 \frac{1 - 128}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.3

Soustrayez $128$ de $1$ .

$- 2 \frac{- 127}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{- 127}{1 - 2}$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 2 (\frac{- 127}{- 1})$

Étape 3.5.3

Divisez $- 127$ par $- 1$ .

$- 2 \cdot 127$

Étape 3.5.4

Multipliez $- 2$ par $127$ .

$- 254$

Étape 4

Additionnez les résultats des additions.

$252 - 254$

Étape 5

Soustrayez $254$ de $252$ .

$- 2$