Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5 - 2 k}{8}$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $k$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} - \sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} + \sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8}$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{5}{8}) (13)$

Étape 2.2.3

Multipliez $(\frac{5}{8}) (13)$ .

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Étape 2.2.3.1

Associez $\frac{5}{8}$ et $13$ .

$\frac{5 \cdot 13}{8}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $5$ par $13$ .

$\frac{65}{8}$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $- \frac{1}{4}$ dans l’addition.

$(- \frac{1}{4}) \sum_{k = 1}^{13} k$

Étape 2.3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- \frac{1}{4}) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1.1

Additionnez $13$ et $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{13 \cdot 14}{2}$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $13$ par $14$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{182}{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $182$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Étape 2.3.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Étape 2.3.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{91}{2}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $\frac{- 1}{2}$ par $\frac{91}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 91}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $91$ .

$\frac{- 91}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 91}{4}$

Étape 2.3.4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{91}{4}$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Pour écrire $- \frac{91}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.5.2.1

Multipliez $\frac{91}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{8}$

Étape 2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{65 - 91 \cdot 2}{8}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $- 91$ par $2$ .

$\frac{65 - 182}{8}$

Étape 2.5.4.2

Soustrayez $182$ de $65$ .

$\frac{- 117}{8}$

Étape 2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{117}{8}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$\frac{5}{8} - \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{4} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4} + \frac{5}{8} - \frac{4}{4}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 + 5 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Étape 3.2.2

Additionnez $5$ et $5$ .

$\frac{10 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Étape 3.2.3

Additionnez $10$ et $5$ .

$\frac{15 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Étape 3.2.4

Additionnez $15$ et $5$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Étape 3.2.5

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 3 - 3 - 4}{4}$

Étape 3.2.6

Soustrayez $3$ de $- 3$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 6 - 4}{4}$

Étape 3.2.7

Soustrayez $4$ de $- 6$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 10}{4}$

Étape 3.2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.8.1

Annulez le facteur commun à $20$ et $8$ .

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Étape 3.2.8.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 (5)}{8} + \frac{- 10}{4}$

Étape 3.2.8.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.8.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Étape 3.2.8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Étape 3.2.8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{2} + \frac{- 10}{4}$

Étape 3.2.8.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $4$ .

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Étape 3.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 (- 5)}{4}$

Étape 3.2.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.2.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 3.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 - 5}{2}$

Étape 3.2.10

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{2}$

Étape 3.2.11

Divisez $0$ par $2$ .

$0$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$- \frac{117}{8} - 0$

Étape 5

Soustrayez $0$ de $- \frac{117}{8}$ .

$- \frac{117}{8}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{117}{8}$

Forme décimale :

$- 14.625$

Forme de nombre mixte :

$- 14 \frac{5}{8}$