Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{\frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}}}{\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}} \cdot \frac{8^{n}}{{(- 4)}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2

Associez.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{n + 1 - 1}$ et ${(- 4)}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez ${(- 4)}^{n - 1}$ à partir de ${(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Factorisez ${(- 4)}^{n - 1}$ à partir de $8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}$ .

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $8^{n}$ et $8^{n + 1}$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $8^{n + 1}$ à partir de ${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1}}$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}}{1}$

Étape 2.2.4.2.4

Divisez ${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$ par $1$ .

$r = {(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Étape 2.2.5

Additionnez $n$ et $0$ .

$r = {(- 4)}^{n - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(- 4)}^{n - n - - 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(- 4)}^{n - n + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Étape 2.2.7

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = {(- 4)}^{0 + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Étape 2.2.8

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(- 4)}^{1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Étape 2.2.9

Évaluez l’exposant.

$r = - 4 \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Étape 2.2.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1 \cdot 1}$

Étape 2.2.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1}$

Étape 2.2.11

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = - 4 \cdot 8^{0 - 1}$

Étape 2.2.12

Soustrayez $1$ de $0$ .

$r = - 4 \cdot 8^{- 1}$

Étape 2.2.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = - 4 \cdot \frac{1}{8}$

Étape 2.2.14

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.14.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$r = 4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Étape 2.2.14.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 2.2.14.3

Annulez le facteur commun.

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 2.2.14.4

Réécrivez l’expression.

$r = - 1 \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.2.15

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Comme $| r | < 1$ , la série converge.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $n$ par $1$ dans $\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$ .

$a = \frac{{(- 4)}^{1 - 1}}{8^{1}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = \frac{{(- 4)}^{0}}{8^{1}}$

Étape 4.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{8^{1}}$

Étape 4.2.2

Évaluez l’exposant.

$a = \frac{1}{8}$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{\frac{1}{8}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Étape 6.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{8} (1 (\frac{2}{3}))$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 6.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Étape 6.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{12}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{12}$

Forme décimale :

$0.08\overline{3}$