Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{11}{12} {(- \frac{2}{5})}^{m}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{m + 1}}{a_{m}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{m}$ et $a_{m + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m + 1}}{\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\frac{11}{12}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m + 1}}{\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{2}{5})}^{m + 1}}{{(- \frac{2}{5})}^{m}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(- \frac{2}{5})}^{m + 1}$ et ${(- \frac{2}{5})}^{m}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(- \frac{2}{5})}^{m}$ à partir de ${(- \frac{2}{5})}^{m + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{5})}^{m} (- \frac{2}{5})}{{(- \frac{2}{5})}^{m}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{5})}^{m} (- \frac{2}{5})}{{(- \frac{2}{5})}^{m} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- \frac{2}{5})}^{m} (- \frac{2}{5})}{{(- \frac{2}{5})}^{m} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{- \frac{2}{5}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez $- \frac{2}{5}$ par $1$ .

$r = - \frac{2}{5}$

Étape 3

Comme $| r | < 1$ , la série converge.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $m$ par $1$ dans $\frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{m}$ .

$a = \frac{11}{12} \cdot {(- \frac{2}{5})}^{1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez

$a = \frac{11}{12} \cdot (- \frac{2}{5})$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{5}$ dans le numérateur.

$a = \frac{11}{12} \cdot \frac{- 2}{5}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$a = \frac{11}{2 (6)} \cdot \frac{- 2}{5}$

Étape 4.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$a = \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Étape 4.2.2.4

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Étape 4.2.2.5

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{11}{6} \cdot \frac{- 1}{5}$

Étape 4.2.3

Multipliez $\frac{11}{6}$ par $\frac{- 1}{5}$ .

$a = \frac{11 \cdot - 1}{6 \cdot 5}$

Étape 4.2.4

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$a = \frac{- 11}{6 \cdot 5}$

Étape 4.2.5

Multipliez $6$ par $5$ .

$a = \frac{- 11}{30}$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{11}{30}$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{- \frac{11}{30}}{1 - - \frac{2}{5}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{2}{5}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- - \frac{2}{5}$ .

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{2}{5})}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2}{5}}$

Étape 6.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{\frac{5}{5} + \frac{2}{5}}$

Étape 6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{\frac{5 + 2}{5}}$

Étape 6.2.4

Additionnez $5$ et $2$ .

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{1}{\frac{7}{5}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{11}{30} (1 (\frac{5}{7}))$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{5}{7}$ par $1$ .

$- \frac{11}{30} \cdot \frac{5}{7}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{11}{30}$ dans le numérateur.

$\frac{- 11}{30} \cdot \frac{5}{7}$

Étape 6.5.2

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$\frac{- 11}{5 (6)} \cdot \frac{5}{7}$

Étape 6.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 11}{5 \cdot 6} \cdot \frac{5}{7}$

Étape 6.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 11}{6} \cdot \frac{1}{7}$

Étape 6.6

Multipliez $\frac{- 11}{6}$ par $\frac{1}{7}$ .

$\frac{- 11}{6 \cdot 7}$

Étape 6.7

Multipliez $6$ par $7$ .

$\frac{- 11}{42}$

Étape 6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{42}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{11}{42}$

Forme décimale :

$- 0.2\overline{619047}$