Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{n + 1}{n + 4}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$\frac{1 + 1}{1 + 4} + \frac{2 + 1}{2 + 4} + \frac{3 + 1}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{2 + 1}{2 + 4} + \frac{3 + 1}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Étape 2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{3 + 1}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Étape 2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Étape 2.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Étape 2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Étape 2.5.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3}{6} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3 (1)}{6} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Étape 2.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Étape 2.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Étape 2.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Étape 2.5.4

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{4 + 4}$

Étape 2.5.5

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Étape 2.6

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{56}{56}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{56}{56} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Étape 2.6.2

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{56}{56}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Étape 2.6.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{140}{140}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{1}{2} \cdot \frac{140}{140} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Étape 2.6.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{140}{140}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Étape 2.6.5

Multipliez $\frac{4}{7}$ par $\frac{40}{40}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4}{7} \cdot \frac{40}{40} + \frac{5}{8}$

Étape 2.6.6

Multipliez $\frac{4}{7}$ par $\frac{40}{40}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5}{8}$

Étape 2.6.7

Multipliez $\frac{5}{8}$ par $\frac{35}{35}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5}{8} \cdot \frac{35}{35}$

Étape 2.6.8

Multipliez $\frac{5}{8}$ par $\frac{35}{35}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Étape 2.6.9

Multipliez $5$ par $56$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Étape 2.6.10

Multipliez $2$ par $140$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{280} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Étape 2.6.11

Multipliez $7$ par $40$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{280} + \frac{4 \cdot 40}{280} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Étape 2.6.12

Multipliez $8$ par $35$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{280} + \frac{4 \cdot 40}{280} + \frac{5 \cdot 35}{280}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 56 + 140 + 4 \cdot 40 + 5 \cdot 35}{280}$

Étape 2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1

Multipliez $2$ par $56$ .

$\frac{112 + 140 + 4 \cdot 40 + 5 \cdot 35}{280}$

Étape 2.8.2

Multipliez $4$ par $40$ .

$\frac{112 + 140 + 160 + 5 \cdot 35}{280}$

Étape 2.8.3

Multipliez $5$ par $35$ .

$\frac{112 + 140 + 160 + 175}{280}$

Étape 2.9

Additionnez $112$ et $140$ .

$\frac{252 + 160 + 175}{280}$

Étape 2.10

Additionnez $252$ et $160$ .

$\frac{412 + 175}{280}$

Étape 2.11

Additionnez $412$ et $175$ .

$\frac{587}{280}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{587}{280}$

Forme décimale :

$2.09642857 \dots$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{27}{280}$