Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{4} n^{- 2} (12)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot 12$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{n^{2}}$ et $12$ .

$\frac{12}{n^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’addition.

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{12}{n^{2}}$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$\frac{12}{1^{2}} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{12}{1} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3.1.2

Divisez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 + \frac{12}{4} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3.1.4

Divisez $12$ par $4$ .

$12 + 3 + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$12 + 3 + \frac{12}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3.1.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$12 + 3 + \frac{3 (4)}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{4^{2}}$

Étape 3.1.7

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{16}$

Étape 3.1.8

Annulez le facteur commun à $12$ et $16$ .

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Étape 3.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 (3)}{16}$

Étape 3.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Étape 3.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Étape 3.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Étape 3.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.1

Écrivez $12$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{12}{1} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12}{1} \cdot \frac{12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Étape 3.2.3

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Étape 3.2.4

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Étape 3.2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Étape 3.2.6

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Étape 3.2.7

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 3.2.8

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Étape 3.2.9

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.2.10

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 3.2.11

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 3.2.12

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 3$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Étape 3.2.13

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 \cdot 12 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1

Multipliez $12$ par $12$ .

$\frac{144 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $12$ .

$\frac{144 + 36 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Étape 3.4.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 3 \cdot 3}{12}$

Étape 3.4.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 9}{12}$

Étape 3.5

Additionnez $144$ et $36$ .

$\frac{180 + 16 + 9}{12}$

Étape 3.6

Additionnez $180$ et $16$ .

$\frac{196 + 9}{12}$

Étape 3.7

Additionnez $196$ et $9$ .

$\frac{205}{12}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{205}{12}$

Forme décimale :

$17.08\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$17 \frac{1}{12}$