Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{4} {(a - n)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(a - n)}^{2}$ comme $(a - n) (a - n)$ .

$(a - n) (a - n)$

Étape 1.2

Développez $(a - n) (a - n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a (a - n) - n (a - n)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a \cdot a + a (- n) - n (a - n)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$a \cdot a + a (- n) - n a - n (- n)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} + a (- n) - n a - n (- n)$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} - a n - n a - n (- n)$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 n \cdot n$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.4.1

Déplacez $n$ .

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 (n \cdot n)$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 n^{2}$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a^{2} - a n - n a + 1 n^{2}$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $n^{2}$ par $1$ .

$a^{2} - a n - n a + n^{2}$

Étape 1.3.2

Soustrayez $n a$ de $- a n$ .

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Étape 1.3.2.1

Déplacez $n$ .

$a^{2} - a n - 1 a n + n^{2}$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $a n$ de $- a n$ .

$a^{2} - 2 a n + n^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{n = 1}^{4} a^{2} - 2 a n + n^{2}$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Étape 3

Remplacez à nouveau les valeurs et simplifiez $a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$ .

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$a^{2} - 2 a + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Étape 3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Étape 3.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Étape 3.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Étape 3.1.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Étape 3.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Étape 3.1.7

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 4^{2}$

Étape 3.1.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Additionnez $a^{2}$ et $a^{2}$ .

$2 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

Étape 3.2.2

Additionnez $2 a^{2}$ et $a^{2}$ .

$3 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

Étape 3.2.3

Additionnez $3 a^{2}$ et $a^{2}$ .

$4 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 - 6 a + 9 - 8 a + 16$

Étape 3.2.4

Soustrayez $4 a$ de $- 2 a$ .

$4 a^{2} - 6 a + 1 + 4 - 6 a + 9 - 8 a + 16$

Étape 3.2.5

Soustrayez $6 a$ de $- 6 a$ .

$4 a^{2} - 12 a + 1 + 4 + 9 - 8 a + 16$

Étape 3.2.6

Soustrayez $8 a$ de $- 12 a$ .

$4 a^{2} - 20 a + 1 + 4 + 9 + 16$

Étape 3.2.7

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.7.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$4 a^{2} - 20 a + 5 + 9 + 16$

Étape 3.2.7.2

Additionnez $5$ et $9$ .

$4 a^{2} - 20 a + 14 + 16$

Étape 3.2.7.3

Additionnez $14$ et $16$ .

$4 a^{2} - 20 a + 30$